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  • 《經濟計量學精要》筆記和課后習題詳解 - 圖文 - 下載本文

    19.參考習題5。表2-5給出了基本數據。

    (1)用鐘表價格對鐘表年代和投標人數作圖。散點圖表明教材線性回歸模型(2-27),和教材式(2-28)是否適合?

    (2)用投標人數對鐘表年代作圖是否有意義?散點圖說明了什么?

    表2-5 拍賣數據(鐘表價格、鐘表年代和投標人數)

    觀察值 價格 年代 投標人數 1 1235 127 13 2 1080 115 12 3 845 127 7 4 1552 150 9 5 1047 156 6 6 1979 182 11 7 1822 156 12 8 1253 132 10 9 1297 137 9 10 946 113 9 11 1713 137 15 12 1024 117 11 13 2131 170 14 14 1550 182 8 15 1884 162 11 16 2041 184 10 答:(1)圖形如下:

    觀察值 價格 年代 投標人數 17 854 143 6 18 1483 159 9 19 1055 108 14 20 1545 175 8 21 729 108 6 22 1792 179 9 23 1175 111 15 24 1593 187 8 25 1147 137 8 26 1092 153 6 27 1152 117 13 28 1336 126 10 29 785 111 7 30 744 115 7 31 1356 194 5 32 1262 168 7

    從圖中可知,投標人越多,古董鐘的價格會越高,這或許是古董鐘拍賣市場的規律。初次估計時,可以用線性模型來擬合價格和年限之間的關系,但同樣用線性模型來擬合價格和投標人數的關系就顯得過于粗略了。

    (2)投標者人數同年限的散點圖如下圖所示:

    散點圖顯示,鐘表年限同投標者人數大致呈負相關關系,但這種關系并不明顯。這可能是因為鐘表的年限越高,價格越高,而有能力參與投標的人也就越少。

    20.參考本章討論的數學S.A.T分數一例。教材表2-4給出了計算OLS估計量必需的原始數據。觀察Y(實

    ?(估計值)并作圖。散點圖說明了什么?如果認為擬合的模型(教材方程(2-20))是“好的”模型,際值)和Y散點圖的形狀應該是怎樣的?下一章將討論“好的”模型看起來是什么樣子。

    ?的散點圖如下。 答:被解釋變量的實際值Y(數據見教材表2-4)和擬合值Y

    如果模型擬合得好,被解釋變量的實際值和擬合值則較為接近。如果模型是完美擬合的,則上述散點圖應是一條直線。

    21.表2-15(參見網上教材)給出了1972~2007年男、女生S.A.T詞匯和數學分數。

    (1)假設想要根據男生的詞匯分數(X)預測其數學分數(Y),建立合適的線性回歸模型并估計參數。 (2)解釋回歸結果。

    (3)顛倒一下Y和X的角色,做詞匯分數對數學分數的回歸,解釋回歸結果。

    (4)令a2為數學對詞匯分數回歸中的斜率系數,b2為詞匯對數學分數回歸中的斜率系數。把這兩個系數相乘,并與兩個回歸方程的r值進行比較。得出什么樣的結論?

    答:(1)Male Math=511.607+0.0259MaleCR。

    (2)該回歸結果表明,男生的詞匯(critical reading score)每上升一單位,男生的數學成績平均上升0.0259個單位。

    (3)Male CR=499.734+0.0196Male Math。

    該回歸結果表明,男生的數學成績每上升一單位。其詞匯得分平均上升0.0196個單位。 (4)將上述兩個回歸模型的斜率估計值相乘,可得0.0259×00196=0.0005。

    在第3章我們將會介紹r,其衡量了回歸線對數據的擬合程度。上述兩個模型的r均是0.0005,即兩個回歸模型斜率估計值的乘積。值得注意的一點是,在二元回歸模型中,無論是Y對X回歸還是X對Y回歸,r值均相同。

    22.表2-16(參見網上教材)給出了不同國家1960~1974年間投資率和儲蓄率的數據,兩個指標都是用其占GDP的比重來度量。

    (1)以投資率為縱軸,儲蓄率為橫軸作圖。

    2222

    (2)通過上圖,觀察出一條合適的曲線。 (3)估計下面的模型:

    ipergdpi?B1?B2spergdpi?ui

    (4)解釋回歸系數。

    (5)從分析中你能得出什么結論? 答:略。

    三、選作題 23.證明:證明:

    ?e?0,從而證明:e?0。

    i?e???Y?b?bX??nY???Y?bX??b?X?bii12i22i1?Y?b2X?

    ?nY?nY?b2nX?b2nX?0

    24.證明:證明:

    ?exii?0。

    ?eiXi???Yi?b1?b2Xi?Xi??YiXi?b1?Xi?b2?Xi?0

    25.證明:證明:

    2?eY??0,即對殘差e與Y估計值之積求和為零。

    iiii???e?b?bX??b?e?b?eX?eYiii12i1i2ii?0

    ?,即Y的實際均值與Y估計值的均值相同。 26.證明:Y?Y??e,兩邊同時對i求和,可得: 證明:因為有Yi?Yii???e

    ?Y??Yiii兩邊同時除以n可得:

    ?Y/n??Y?/n??e/n

    iii因為上式的最后一項等于0,因此得證。

    27.證明:證明:

    ?xy??xY??Xyiiiiiiiiii,其中,xi?(Xi?X),yi?(Yi?Y)。

    iiii?xy??x?Y?Y???xY?Y?x??xY,因為Y為常數且?x???Xii?X?0,本

    ?問題中的另一個表達式也可以通過類似的方法來推導。

    28.證明:證明:

    i?x??y?0,其中,x?(Xiiiii?X),yi?(Yi?Y)。

    ?x???X?X??Xi?nX?nX?nX?0,第一個等號是因為X常數,第二個等號是因為

    ?X??Xi/n。

    相似的推導過程

    ?y同樣適用。牢記一個隨機變量的離差平方和為零是十分有益的。

    i

    29.利用數學S.A.T分數一例的數據驗證習題22(保留舍入誤差)。 答:該問題的證明過程比較簡單,保存舍入誤差。

    第三章 雙變量模型:假設檢驗

    3.1 復習筆記

    一、古典線性回歸模型

    古典線性回歸模型假定如下:

    假定1:回歸模型是參數線性的,但不一定是變量線性的。回歸模型形式如下:

    Yi?B1?B2Xi?ui

    這個模型可以擴展到多個解釋變量的情形。

    假定2:解釋變量X與擾動誤差項u不相關。但是,如果X是非隨機的(即為固定值),則該假定自動滿足。即使X值是隨機的,如果樣本容量足夠大,也不會對分析產生嚴重影響。

    假定3:給定X,擾動項的期望或均值為零。即

    E(u|Xi)?0 (3-1)

    假定4:ui的方差為常數,或同方差,即

    var(ui)??2 (3-2)

    假定5:無自相關假定,即兩個誤差項之間不相關。

    cov(ui,uj)?0 i?j (3-3)

    無自相關假定表明誤差ui是隨機的。由于假定任何兩個誤差項不相關,所以任何兩個Y值也是不相關的,即cov(Yi,Yj)?0。由于Yi?B1?B2Xi?ui,則給定B值和X值,Y隨u的變化而變化。因此,如果u是不相關的,則Y也是不相關的。

    假定6:回歸模型是正確設定的。換句話說,實證分析的模型不存在設定偏差或設定誤差。 這一假定表明,模型中包括了所有影響變量。

    二、普通最小二乘估計量的方差與標準誤

    有了上述這些假定就能夠估計出OLS估計量的方差和標準誤。由此可知,教材式(2-16)和教材式(2-17)給出的OLS估計量是隨機變量,因為其值隨樣本的不同而變化。這種抽樣變異性通常由估計量的方差或其標準誤(方差的平方根)來度量。教材式(2-16)和式(2-17)中OLS估計量的方差及標準誤是:

    var?b1???b12?X?n?x22? (3-4) 2iise(b1)?var(b1) (3-5) var(b2)=??2b2?2?x2i (3-6)

    (3-7) se(b2)=var(b2)其中,var表示方差,se表示標準誤,?2是擾動項ui的方差。根據同方差假定,每一個ui具有相同的方差

    ?2。

    一旦知道了?2,就很容易計算等式右邊的項,從而求得OLS估計量的方差和標準誤。根據下式估計?2:





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