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  • 第三版常微分方程答案[1].doc - 下載本文

    習題1.2 1.

    dydx=2xy,并滿足初始條件:x=0,y=1的特解。 解:

    dyy=2xdx 兩邊積分有:ln|y|=x2+c y=e

    x2+ec=cex

    2另外y=0也是原方程的解,c=0時,y=0

    原方程的通解為y= cex2,x=0 y=1時 c=1 特解為y= ex2.

    2. y2dx+(x+1)dy=0 并求滿足初始條件:x=0,y=1的特解。 解:y2dx=-(x+1)dy

    dy1y2dy=-x?1dx 兩邊積分: -

    1y=-ln|x+1|+ln|c| y=1ln|c(x?1)|

    另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1時 c=e 特解:y=

    1ln|c(x?1)|

    dy1?y23.dx=xy?x3y

    解:原方程為:dydx=1?y21yx?x3

    1?y21ydy=x?x3dx 兩邊積分:x(1+x2)(1+y2)=cx2

    4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程為:

    1?yx?1ydy=-xdx 兩邊積分:ln|xy|+x-y=c

    另外 x=0,y=0也是原方程的解。

    5.(y+x)dy+(x-y)dx=0 解:原方程為:

    1

    dydx=-x?yx?y

    yx=u 則dydx=u+xdudx 代入有:

    -u?11u2?1du=xdx

    ln(u2+1)x2=c-2arctgu 即 ln(y2+x2)=c-2arctgyx2. 6. x

    dydx-y+x2?y2=0 解:原方程為:

    dydx=yx+|x|x-1?(y2x) 則令

    yx=u dydx=u+ xdudx

    1 du=sgnx

    11?u2xdx arcsin

    yx=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程為:

    dytgy=dxctgx 兩邊積分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=

    1ccosx=ccosx 另外y=0也是原方程的解,而c=0時,y=0.

    所以原方程的通解為sinycosx=c. 3x8

    dyey2?dx+y=0

    dyey2 解:原方程為:dx=3xye

    2 e

    3x-3e

    ?y2=c.

    9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解:原方程為:

    dyyydx=xlnx 令yx=u ,則dydudx=u+ xdx

    2

    u+ x

    dudx=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln

    yx=cy. 10.

    dyx?ydx=e 解:原方程為:

    dyxdx=ee?y ey=cex

    11

    dydx=(x+y)2 解:令x+y=u,則

    dydx=dudx-1 dudx-1=u2 11?u2du=dx arctgu=x+c

    arctg(x+y)=x+c

    12.

    dy1dx=(x?y)2 解:令x+y=u,則dydudx=dx-1

    dudx-1=1u2 u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.

    dy2x?y?dx=1x?2y?1 解: 原方程為:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y2-y)-dx2+x=c xy-y2+y-x2-x=c

    14:

    dyx?y?5dx=x?y?2 解:原方程為:(x-y-2)dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(

    12y2+2y)-d(122x+5x)=0

    3

    y2+4y+x2+10x-2xy=c.

    15: dydx=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy?1 解:原方程為:dydx=(x+4y)2+3

    令x+4y=u 則dy1dx=du4dx-14

    1du4dx-14=u2+3 dudx=4 u2+13 u=32tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=23(x+4y+1).

    16:證明方程

    xdyydx=f(xy),經變換xy=u可化為變量分離方程,并由此求下列方程:1) y(1+x2y2)dx=xdy

    2) xdy2?x2 y2 ydx=2-x2y2

    證明: 令xy=u,則xdydx+y=dudx 則dy1dudx=xdx-ux2,有:

    xduudx=f(u)+1

    11u(f(u)?1)du=xdx

    所以原方程可化為變量分離方程。

    1) 令xy=u 則

    dy1duudx=xdx-x2 (1) 原方程可化為:dydx=yx[1+(xy)2] (2)

    將1代入2式有:1duxdx-uu2x2=x(1+u)

    u=u2?2+cx

    17.求一曲線,使它的切線坐標軸間的部分初切點分成相等的部分。

    解:設(x +y )為所求曲線上任意一點,則切線方程為:y=y’(x- x )+ y 則與x軸,y軸交點分別為:

    4

    x= x0 -

    y0y' y= y0 - x0 y’ 則 x=2 xy00 = x0 -

    y' 所以 xy=c 18.求曲線上任意一點切線與該點的向徑夾角為0的曲線方程,其中? =

    ?4 。 解:由題意得:y’=

    y1x 1ydy=x dx

    ln|y|=ln|xc| y=cx. ? =

    ?4 則y=tg?x 所以 c=1 y=x. 19.證明曲線上的切線的斜率與切點的橫坐標成正比的曲線是拋物線。 證明:設(x,y)為所求曲線上的任意一點,則y’=kx 則:y=kx2 +c 即為所求。

    常微分方程習題2.1 1.

    dydx?2xy,并求滿足初始條件:x=0,y=1的特解. 解:對原式進行變量分離得

    12ydy?2xdx,兩邊同時積分得:lny?x2?c,即y?cex把x?0,y?1代入得2c?1,故它的特解為y?ex。

    2.y2dx?(x?1)dy?0,并求滿足初始條件:x=0,y=1的特解.

    解:對原式進行變量分離得:

    ?1x?1dx?111y2dy,當y?0時,兩邊同時積分得;lnx?1?y?c,即y?c?lnx?1當y?0時顯然也是原方程的解。當x?0,y?1時,代入式子得c?1,故特解是y?11?ln1?x。23

    dy1?dx?yxy?x3y 解:原式可化為:

    5





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