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  • 第九講 追及問題 - 下載本文

    第九講 追及問題(一)

    追及問題是運動的雙方運動的方向正好相同,雙方在運動的起始有一定的距離(雙方或同時不同地,或同地不同時),而且運動的雙方速度慢的在前,速度快的在后,當追及運動時,雙方的運動時間是相同的,由于快的一方追及時,慢的一方也在向前運動,所以單位時間內所能追及的路程,即追及的速度是雙方的速度差,這是解決追及問題的關鍵。解答追及問題要理解和掌握這類問題的基本數量關系: 路程差÷(速度快-速度慢)=追及時間 (速度快-速度慢)×追及時間=路程差 路程差÷追及時間=速度快-速度慢 【例題解析】

    例1 妹妹放學回家,以每分鐘80米的速度從學校步行回家,6分鐘后,哥哥騎自行車以每分鐘200米的速度從學校回家,當妹妹到家時,哥哥正好追上妹妹。問哥哥經過多少分鐘追上妹妹? 分析:

    從圖中可以看出:

    哥哥的速度×追及時間-妹妹的速度×追及時間=妹妹6分鐘行的路程 即:(哥哥速度-妹妹速度)×追及時間=路程差 速度差×追及時間=路程差 路程差÷速度差=追及時間

    所以要求追及時間,需要知道路程差和速度差。 解:(1)速度差:200-80=120(米) (2)路程差:80×6=480(米) (3)追及時間:480÷120=4(分)

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    答:問哥哥經過4分鐘追上妹妹。 【邊學邊練】

    甲以每小時4千米的速度步行去學校,乙比甲晚4小時騎自行車從同一地點出發去追甲,乙每小時行12千米,乙幾小時可追上甲?

    例2 一輛摩托車追趕比它先出發的一輛汽車。已知這輛汽車每小時行駛28千米,摩托車每小時行駛40千米,摩托車出發后7小時追上了汽車,汽車比摩托車早出發幾小時? 分析 :

    要求汽車早出發幾小時,就必須要知道汽車在摩托車出發前已行駛的千米數,即摩托車出發7小時比汽車多行的路程,為此要知道兩車的速度差,而兩車的速度題目已給出,故問題可以迎刃而解。

    解:(1)汽車先行多少千米?(40-28)╳7=84(千米) (2)汽車早出發的時間:84÷28=3(小時) 答:汽車比摩托車早出發3小時。 想一想:還可以怎樣解答? 【邊學邊練】

    1、妹妹以每分鐘50米的速度從家出發去學校,哥哥發現妹妹忘記帶學具盒,于是哥哥騎自行車以每分鐘200米的速度從家出發追趕妹妹,12分鐘后追上妹妹。妹妹比哥哥早出發多少分鐘?

    2、妹妹從家出發去學校上學,以每分鐘50米的速度步行,6分鐘后哥哥也從家出發去同一所學校,經過12分鐘哥哥追上妹妹。問哥哥每分鐘走多少米?

    例3 甲、乙兩車同時從A地出發去B地,甲車每小時行12千米,乙車每小時行9千米,途中甲車停車4小時,結果甲車比乙車遲到1小時到達目的地,問AB兩地之間的路程是多少千米?

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    分析:

    要求AB兩地的距離,必須知道甲行這段路程所用的時間。由于途中甲停車4小時,結果甲比乙遲到1小時,可知,如果甲在途中不停留4小時,甲將比乙早到4-1=3小時。如果甲到B地后繼續前進,那么當乙到達B地后,甲比乙多行了12×3=36千米。甲比乙每小時多行12-9=3千米,由此可以求出甲用幾小時比乙多行36千米,即乙行全程所用時間,這樣就可以求出AB兩地的距離。

    解:①甲不停4小時,當乙到B地時,甲比乙多行多少千米?12×(4-1)=36(千米) ②乙從A地到B地要用幾個小時?36÷(12-9)=12(小時) ③AB兩地的距離:9×12=108(千米) 答:AB兩地之間的路程是108千米。

    【邊學邊練】解放軍某部小分隊,以每小時6千米的速度到某地執行任務,途中休息30分后繼續前進,在出發5.5小時后,通訊員騎摩托車以56千米的速度追趕他們。幾小時可以追上他們?

    例4 小華在前面以不變的速度前進,小明在后要去追趕,如果速度是每分鐘60米,要15分鐘才能追上;如果速度是每分鐘70米,要10分鐘才能追上;問小華的速度是多少? 分析:小華先行的路程是一定的,即小明比小華多行的路程不變。

    先看第一種情況:小明以60米的速度行15分鐘追上小華,共行60×15=900米,可知小明出發時小華行了900米減去小華15分鐘行的路程;

    再看第二種情況:小明以70米的速度行10分鐘追上小華,共行70×10=700米,可知小明出發時,小華行了700米減去小華10分鐘行的路程。 綜合上面兩種情況可得下面關系式: 900-小華15分鐘行=700-小華10分鐘行的

    比較兩式,很容易看出小華5分鐘共行200米,每分鐘行40米。

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    解:(60×15-70×10)÷(15-10) =200÷5 =40(米)

    答:小華的速度是每分鐘行40米。

    【相關鏈接】

    追及問題與相遇問題的區別在于運動的方向,及由此而引出的速度和與速度差;共同點是雙方所用的時間是相等的。在解答追及問題時,關鍵是抓住速度差去分析和思考,同時畫線段圖輔助解題是一種行之有效的方法。

    【邊學邊練】有一匹白馬在前面以固定的速度奔跑,有一輛小轎車和一輛面包車前去追趕。已知小轎車的速度是每小時100千米,要用12分鐘才能追上,面包車速度為每小時80千米,要用18分鐘才能追上,求白馬的速度。

    【課外拓展】

    1、上午8時有一輛車以每小時48千米的速度從甲城開往乙城,上午10時有一列客車以每小時70千米的速度從甲城開往乙城,為了行駛安全,列車間的距離不應小于8千米,那么貨車最晚應在什么時候停車讓客車過?

    2、小明以每分鐘50米的速度從學校步行回家,12分鐘后小強從學校出發騎自行車去追小明,結果在距學校1000米處追上小明,求小明騎自行車的速度是每分多少米?

    3、小張從家到公園打算每分鐘走50米,為了提早10分鐘到,他把速度加快,每分鐘75米,問家距離公園是多遠?

    4、甲、乙兩匹馬在相距50米的地方同時出發,出發時甲馬在前乙馬在后.如果甲馬每秒跑10米,乙馬每秒跑12米,幾秒鐘兩馬相距70米?

    【走進賽題】

    1、甲乙兩人騎車同時從A地往B地。甲每小時走12千米,乙每小時走8千米,甲走了25分鐘后返回A地以東西并停留了10分鐘,后來按原來的速度往B地。甲追到乙時離A地多少千米?(中南地區小學數學競賽試題)

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    2、甲、乙二人練習跑步,若甲讓乙先跑10米,則甲跑5秒鐘可追上乙。若甲讓乙先跑2秒鐘,則甲跑4秒鐘能追上乙。問甲、乙兩人每秒鐘各跑多少米?(2002年廣東省中山市小學數學競賽試題)

    3、小強以每分鐘60米的速度從家到學校。如果現在他每分鐘行80米,那么從家到學校可少用3分鐘。小強家到學校有多遠?(2002年廣東省開平市小學數學競賽試題) 4、上午8時8分,小明騎自行車從家里出發.8分后,爸爸騎摩托車去追他,在離家4千米的地方追上了他,然后爸爸立刻回家,到家后又立刻回頭去追小明,再追上他的時候,離家恰是8千米,這時是幾時分?(第一屆華杯賽試題)

    【課外拓展】

    1、14:00 2、125米 3、1500米 4、10秒 【走進賽題】

    1、24千米 2、甲6米/秒,乙4米/秒 3、720米 4、8:32

    第十講:追及問題(二)

    上一講我們已經研究了兩個運動的物體相互間的追及問題,這一講我們主要研究三個物體間的追及問題和環形道路上的追及問題。速度差、追及時間、路程差三者之間的關系仍是解決這類追及問題的關鍵。另外我們還要研究應用相遇和追及問題的相關知識解答的問題。

    【例題解析】

    例1 一條環形跑道長400米,甲騎自行車平均每分鐘騎300米,乙跑步,平均每分鐘跑250米,兩人同時同地同向出發,經過多少分鐘兩人相遇?

    分析 當甲、乙同時同地出發后,距離漸漸拉大再縮小,最終甲又追上乙,這時甲比乙要多跑1圈,即甲乙的距離差為400米,而甲乙兩人的速度已經知道,用環形跑道長除以速度差就是要求的時間。

    解:①甲乙的速度差:300-250=50(米) ②甲追上乙所用的時間:300÷50=8(分鐘)

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